Câu hỏi
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\), đường thẳng \(\left( \Delta \right):2x - y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25.\)
Câu 1:
Tìm tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right).\) Chứng tỏ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\).
- A \(I\left( {2;3} \right)\,\,;\,\,R = 5\)
- B \(I\left( { - 2; - 3} \right)\,\,;\,\,R = 5\)
- C \(I\left( {2;3} \right)\,\,;\,\,R = 25\)
- D \(I = \left( { - 2; - 3} \right)\,\,;\,\,R = 25\)
Phương pháp giải:
Đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) bán kính \(R\) có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\)
Nếu \(IA > R\) thì điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)
Lời giải chi tiết:
\(\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {2;\,\,3} \right)\) và bán kính \(R = 5.\)
Có \(AI = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 3} \right)}^2}} = \sqrt {37} > R\) nên \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right).\)
Chọn A.
Câu 2:
Viết phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\) và song song với đường thẳng \(\left( \Delta \right)\).
- A \(\left( d \right):2x - y - 1 = 0.\)
- B \(\left( d \right):2x - y - 3 = 0.\)
- C \(\left( d \right):2x - y - 5 = 0.\)
- D \(\left( d \right):2x - y + 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Hai đường thẳng song song với nhau thì có cùng véc-tơ pháp tuyến.
Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {A;\,\,B} \right)\) có dạng: \(A\left( {x - {x_0}} \right) + B\left( {y - {y_0}} \right) = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( \Delta \right):2x - y + 3 = 0\) nên \(\left( d \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right).\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\) và có VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)\) nên \(\left( d \right)\) có phương trình là: \(2\left( {x - 1} \right) - \left( {y + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0.\)
Vậy \(\left( d \right):2x - y - 5 = 0.\)
Chọn C.
Câu 3:
Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) sao cho \(IM = 2R,\) (trong đó \(I,R\) lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\)).
- A \(M\left( { - \frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( {4; - 5} \right)\)
- B \(M\left( { - \frac{{24}}{5}; - \frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( {4;5} \right)\)
- C \(M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( { - 4; - 5} \right)\)
- D \(M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( {4;5} \right)\)
Phương pháp giải:
Lập phương trình \(IM = 2R\) theo tọa độ của \(M\) và giải phương trình.
Lời giải chi tiết:
Vì \(M\) thuộc đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) nên gọi \(M\left( {a;\,\,2a + 3} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow IM = 2R \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {2a + 3 - 3} \right)}^2}} = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 4a + 4 + 4{a^2}} = 10\\ \Leftrightarrow 5{a^2} - 4a + 4 = 100 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{24}}{5} \Rightarrow M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\\a = - 4 \Rightarrow M\left( { - 4; - 5} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Vậy \(M\left( {\frac{{24}}{5};\frac{{63}}{5}} \right)\) hoặc \(M\left( { - 4; - 5} \right)\) thỏa mãn yêu cầu.
Chọn C.
Câu hỏi trước
