Phương pháp giải:

Tìm tâm \(I\)  và bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\). Nhận thấy \(M \in \left( C \right).\)

Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(M\) nhận \(\overrightarrow {IM} \) làm VTPT.

Lời giải chi tiết:

\(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 5\) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 5 .\)

\(MI = \sqrt {{{\left( {3 - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5 \) nên \(M \in \left( C \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MI}  = \left( { - 1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại \(M\) với đường tròn \(\left( C \right)\).

Vậy tiếp tuyến tại \(M\) của đường tròn \(\left( C \right)\) có phương trình là:

\( - \left( {x - 4} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 6 = 0.\)

Chọn C.