Phương pháp giải:

- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để xét dấu biểu thức \({3^x} + x - 4\).

- Chia tích phân trên từng đoạn để phá trị tuyệt đối.

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {3^x} + x - 4\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) ta có: \(f'\left( x \right) = {3^x}\ln 3 + 1 > 0\,\,\forall x\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm. Mà \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^2 {\left| {{3^x} + x - 4} \right|dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left| {{3^x} + x - 4} \right|dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {{3^x} + x - 4} \right|dx} \\\,\,\,\, =  - \int\limits_0^1 {\left( {{3^x} + x - 4} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {{3^x} + x - 4} \right)dx} \\\,\,\,\, =  - \left. {\left( {\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\dfrac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 4x} \right)} \right|_1^2\\\,\,\,\, =  - \left( {\dfrac{3}{{\ln 3}} - \dfrac{7}{2}} \right) + \dfrac{1}{{\ln 3}} + \left( {\dfrac{9}{{\ln 3}} - 6} \right) - \left( {\dfrac{3}{{\ln 3}} - \dfrac{7}{2}} \right)\\\,\,\,\, = 1 + \dfrac{4}{{\ln 3}}\\ \Rightarrow a = 1,\,\,b = 4,\,\,c = 3\end{array}\)

Vậy \(T = {a^3} + 3{b^2} + 2c = {1^3} + {3.4^2} + 2.3 = 55\).

Chọn A.