Phương pháp giải:

Nhận xét biểu thức đã cho rồi dung phương pháp đồng nhất hệ số

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f\left( {4x} \right) = f\left( x \right) + 4{x^3} + 2x\)

Suy ra \(f\left( {4x} \right);f\left( x \right)\) là hàm số bậc 3.

Đặt \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow f\left( {4x} \right) = 64a{x^3} + 16b{x^2} + 4cx + d\)

\(\begin{array}{l}f\left( {4x} \right) - f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x\\ \Leftrightarrow 63a{x^3} + 15b{x^2} + 3cx = 4{x^3} + 2x\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{4}{{63}}\\c = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó \(f\left( x \right) = \dfrac{4}{{63}}{x^3} + \dfrac{2}{3}x + 2 \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} dx = \left. {\dfrac{{{x^4}}}{{63}} + \dfrac{{{x^2}}}{3} + 2x} \right|_0^1 = \dfrac{{148}}{{63}}\)

Chọn A.