Phương pháp giải:

- Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {2;0} \right);\,\,\left( {1; - 1} \right)\), lập hệ phương trình tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

- Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) có nghiệm dương.

- Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) xác định các nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), từ đó suy ra nghiệm dương của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\), tức là suy ra nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

- Thay nghiệm đó vào phương trình \(f\left( x \right) = 0\) tìm hệ số \(d\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c.\)

\(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {2;0} \right);\,\,\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\12a + 4b + c = 0\\3a + 2b + c =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b =  - 1\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + d.\)

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) có nghiệm dương.

Mà phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 0,\,\,\,x = 2\) nên để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) có nghiệm dương thì \(x = 2\) phải là nghiệm của hệ phương trình, do đó \(x = 2\) cũng là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( 2 \right) = 0\). Khi đó ta có \(\dfrac{8}{3} - 4 + d = 0 \Leftrightarrow d = \dfrac{4}{3}\).

Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(\dfrac{4}{3}\).

Chọn B.