Phương pháp giải:

- Phương trình tiếp tuyến của  hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(x = a\) là: \(d:\,\,\,\,\,y = f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) + f\left( a \right)\)

- Sử dụng dữ kiện \(M,N\) cùng nằm trên đường thẳng \(x = 2\) hay \({x_M} = {x_N} = 2\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Vì \(M,N\) cùng nằm trên đường thẳng \(x = 2\) nên \({x_M} = {x_N} = 2\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_M} = 2\) là:

      \(\begin{array}{l}y = f'\left( {{x_M}} \right)\left( {x - {x_M}} \right) + f\left( {{x_M}} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 2 = f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + f\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow 2x - 2 = f'\left( 2 \right)x + \left[ {f\left( 2 \right) - 2f'\left( 2 \right)} \right]\end{array}\)

      \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 2 \right) = 2\\f\left( 2 \right) - 2f'\left( 2 \right) =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 2 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = 2\end{array} \right.\)

Ta đặt \(g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right).f'\left( {f\left( x \right)} \right)\)

Do đó, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( {C'} \right):y = g\left( x \right) = f\left( {f\left( x \right)} \right)\) tại điểm \({x_N} = 2\) là:

      \(\begin{array}{l}y = g'\left( {{x_N}} \right)\left( {x - {x_N}} \right) + g\left( {{x_N}} \right)\\ \Leftrightarrow y = g'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + g\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow y = f'\left( 2 \right).f'\left( {f\left( 2 \right)} \right)\left( {x - 2} \right) + f\left( {f\left( 2 \right)} \right)\\ \Leftrightarrow y = 2.f'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + f\left( 2 \right)\\ \Leftrightarrow y = 2.2.\left( {x - 2} \right) + 2\\ \Leftrightarrow y = 4x - 6.\end{array}\)

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( {C'} \right)\) tại điểm \(N\) là \(y = 4x - 6\).

Chọn B.