Phương pháp giải:

- Cách vẽ đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\).

   + Vẽ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

   + Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số phía dưới trục \(Ox\) qua trục \(Ox\).

   + Xóa đi phần đồ thị hàm số phía dưới trục \(Ox\).

- Số nghiệm của phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đườn thẳng \(y = m - 1\) có tính chất song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left| {f\left( x \right)} \right| + 1 = m \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right)} \right| = m - 1\)(*).

Số nghiệm của phương trình (*) là giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) và đườn thẳng \(y = m - 1\) có tính chất song song với trục hoành.

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) như sau:

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi \(1 < m - 1 < 3 \Leftrightarrow 2 < m < 4.\)

Chọn A.