Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thỏa mãn một điểm là trung điểm của hai điểm còn lại nếu và chỉ nếu trung điểm đó chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Vì đồ thị của hàm đa thức bậc ba luôn có tâm đối xứng \(I\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) có hoành độ \({x_0}\) là nghiệm của phương trình \(y''\left( {{x_0}} \right) = 0\)

Vậy đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(C\) là trung điểm của \(AB \Leftrightarrow C\) là tâm đối xứng của \(\left( C \right)\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'' = 6x + 6\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y'' = 0 \Leftrightarrow 6x + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\ \Rightarrow y = m + 2\\ \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,m + 2} \right)\end{array}\)

Lại có: \(C \in Ox \Rightarrow m + 2 = 0 \Leftrightarrow m =  - 2.\)

Chọn  A.