Phương pháp giải:

- Đưa độ dài cạnh hình chữ nhật \(MNPQ\) về cùng một biến và tìm điều kiện của biến.

- Hình trụ tạo thành có chiều cao bằng \(MQ\) và chu vi đáy bằng \(MN\).

- Tính thể tích của hình trụ theo biến.

- Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow H\) cũng là trung điểm của \(MN\).

Do \(ABC\) là tam giác đều có cạnh bằng \(60\,\,\left( {cm} \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\BH = HC = 30\left( {cm} \right)\\AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.BC = 30\sqrt 3 \left( {cm} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(BM = x\), do \(BM < BH \Rightarrow 0 < x < 30\), ta có :

\(\begin{array}{l}MH = BH - BM = 30 - x\\ \Rightarrow MN = 2MH = 60 - 2x\end{array}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\QM \bot MN \Rightarrow QM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH\parallel QM\)

\( \Rightarrow \dfrac{{QM}}{{AH}} = \dfrac{{BM}}{{BH}} \Leftrightarrow \dfrac{{QM}}{{30\sqrt 3 }} = \dfrac{x}{{30}}\)\( \Leftrightarrow QM = \sqrt 3 x\) (Định lí Ta-lét)

Gọi \(r\) là bán kính đáy của hình trụ được tạo thành.

Hình trụ được tạo thành có chiều cao bằng \(MQ = \sqrt 3 x\) và chu vi đáy bằng \(MN\) nên :

\(2\pi r = MN \Leftrightarrow 2\pi r = 60 - 2x \Leftrightarrow r = \dfrac{{30 - x}}{\pi }\)

Thể tích của hình trụ được tạo thành từ hình chữ nhật \(MNPQ\) là :

      \(\begin{array}{l}V = \pi {r^2}.MQ = \pi .{\left( {\dfrac{{30 - x}}{\pi }} \right)^2}.\sqrt 3 x\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 x\left( {900 - 60x + {x^2}} \right)}}{\pi }\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{\pi }\left( {{x^3} - 60{x^2} + 900x} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 60{x^2} + 900x\) trên khoảng \(\left( {0;30} \right)\) ta có :

      \(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 3{x^2} - 120x + 900\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 30\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 10\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 10\end{array}\)

Ta có BBT như sau :

Từ BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;30} \right)} f\left( x \right) = f\left( {10} \right) = 4000\).

Do đó, thể tích lớn nhất của hình trụ tạo được là \(\dfrac{{4000\sqrt 3 }}{\pi }\,\,\,\left( {c{m^3}} \right).\)

Chọn D.