Phương pháp giải:

Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\).

- Giải phương trình \(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow \) Các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\).

- Tính các giá trị \(f\left( a \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( {{x_i}} \right)\).

- Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\,\,f\left( b \right);\,\,f\left( {{x_i}} \right)} \right\}\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 3x}}{{x + 1}}\) xác định và liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4; - 2} \right]\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) - 1.\left( {{x^2} - 3x} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{x^2} - x - 3 - {x^2} + 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \notin \left[ { - 4; - 2} \right]\\x =  - 3 \in \left[ { - 4; - 2} \right]\end{array} \right.\end{array}\)

Có:  \(f\left( { - 4} \right) = \dfrac{{ - 28}}{3};\,\,\,f\left( { - 2} \right) =  - 10;\,\,f\left( { - 3} \right) =  - 9\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4; - 2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) =  - 9\).

Chọn B.