Phương pháp giải:

Lập hàm tính tổng diện tích hai hình và khảo sát hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi chiều dài của đoạn dây làm hình vuông là x \(\left( {m,\,\,0 < x < 28} \right)\)

\( \Rightarrow \) Chiều dài của đoạn dây làm hình tròn là \(28 - x\,\,\left( m \right).\)

Độ dài cạnh hình vuông là: \(\dfrac{1}{4}x\)

Bán kính đường tròn là: \(\dfrac{{28 - x}}{{2\pi }}\)

Tổng diện tích của hai hình là: \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{16}}{x^2} + \pi {\left( {\dfrac{{28 - x}}{{2\pi }}} \right)^2}\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{8}x - \dfrac{1}{{2\pi }}\left( {28 - x} \right) = \dfrac{{x\left( {\pi  + 4} \right) - 112}}{{8{\pi ^2}}}.\)

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{112}}{{\pi  + 4}}\).

BBT:

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là nhỏ nhất khi chiều dài của đoạn dây làm hình vuông là:\(\dfrac{{112}}{{\pi  + 4}}\).

Chọn: A.