Phương pháp giải:

* Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = a \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số.

* Định nghĩa tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f(x)\).

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) =  - \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) =  + \infty \,\)hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) =  - \infty \,\) thì \(x = a\)  là TCĐ của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ge  - 9,\,\,x \ne 0,x \ne  - 1.\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 10} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{{{x^5}}} + \dfrac{9}{{{x^6}}}}  - \dfrac{3}{{{x^3}}}}}{{\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {1 + \dfrac{{10}}{x}} \right)}} = \dfrac{0}{1} = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có TCN là \(y = 0.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {9^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 10} \right)}} = \dfrac{{ - 3}}{{72}} =  - \dfrac{1}{{24}}\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 10} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {x + 10} \right)\left( {\sqrt {x + 9}  + 3} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 10} \right)\left( {\sqrt {x + 9}  + 3} \right)}} = \dfrac{1}{{60}}\end{array}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{({x^2} + x)(x + 10)}} =  + \infty \,\) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \dfrac{{\sqrt {x + 9}  - 3}}{{({x^2} + x)(x + 10)}} =  - \infty \,\).

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có đúng 1 TCĐ là \(x =  - 1\).

Chọn: B.