Câu hỏi
Cho hình chóp S.ABCDS.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB=aAB=a, AD=2aAD=2a. ΔSABΔSAB cân tại SS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)(ABCD) bằng 450450. Gọi MM là trung điểm của SDSD. Tính theo aa khoảng cách dd từ điểm MM đến mặt phẳng (SAC)(SAC).
- A d=a√151389d=a√151389
- B d=2a√151389d=2a√151389
- C d=a√131589d=a√131589
- D d=2a√131589d=2a√131589
Phương pháp giải:
- Chuyển tính khoảng cách từ MM đến mặt phẳng (SAC)(SAC) sang tính khoảng cách từ HH đến (SAC)(SAC).
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Lời giải chi tiết:
Gọi HH là trung điểm của ABAB.
Vì ΔSABΔSAB cân tại SS nên SH⊥ABSH⊥AB.
Ta có: {(SAB)⊥(ABCD)(SAB)∩(ABCD)=AB(SAB)⊃SH⊥AB ⇒SH⊥(ABCD).
Trong (ABCD) gọi F=AC∩HD, dựng HE⊥AC ta có: {AC⊥HEAC⊥SH⇒AC⊥(SHE).
Trong (SHE) kẻ HK⊥SE ta có: {HK⊥SEHK⊥AC⇒HK⊥(SAC)⇒d(H;(SAC))=HK.
Ta có: M là trung điểm của SC ⇒d(M;(SAC))=12d(D;(SAC))
Lại có: DFHF=DCHA=2 ⇒d(D;(SAC))=2d(H;(SAC))
⇒d(M;(SAC))=d(H;(SAC))=HK
Ta có: ΔAHE đồng dạng ΔACB (g.g).
⇒HEBC=AHAC⇔HE2a=a2√a2+4a2⇔HE=a√55
Ta có : SH⊥(ABCD) nên HC là hình chiếu của SC lên (ABCD).
⇒∠(SC;(ABCD))=∠(SC;HC)=∠SCH=450.
ΔBHC vuông tại B ⇒HC=√BC2+BH2=√4a2+(a2)2=a√172
ΔSHC vuông tại H ⇒SH=HC.tan450=a√172
Tam giác SHE vuông tại H, HK là đường cao
⇒1HK2=1SH2+1HE2=117a24+1a25=8917a2⇒HK=a√151389
⇒d(M;(SAC))=d=a√151389.
Chọn: A.