Phương pháp giải:

- Chuyển tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) sang tính khoảng cách từ \(H\) đến \(\left( {SAC} \right)\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Vì \(\Delta SAB\) cân tại \(S\) nên \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(F = AC \cap HD\), dựng \(HE \bot AC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HE\\AC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SHE} \right)\).

Trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(HK \bot SE\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\).

Ta có: \(M\) là trung điểm của \(SC\) \( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right)\)

Lại có:  \(\dfrac{{DF}}{{HF}} = \dfrac{{DC}}{{HA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SAC} \right)} \right) = HK\)

Ta có: \(\Delta AHE\) đồng dạng \(\Delta ACB\) \(\left( {g.g} \right)\).

\( \Rightarrow \dfrac{{HE}}{{BC}} = \dfrac{{AH}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{HE}}{{2a}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + 4{a^2}} }} \Leftrightarrow HE = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

Ta có : \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(HC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;HC} \right) = \angle SCH = {45^0}\).

\(\Delta BHC\) vuông  tại \(B\) \( \Rightarrow HC = \sqrt {B{C^2} + B{H^2}}  = \sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

\(\Delta SHC\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow SH = HC.\tan {45^0} = \dfrac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

Tam giác SHE vuông tại H, HK là đường cao

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{17{{\rm{a}}^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{5}}} = \dfrac{{89}}{{17{{\rm{a}}^2}}} \Rightarrow HK = \dfrac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}\)

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SAC} \right)} \right) = d = \dfrac{{a\sqrt {1513} }}{{89}}.\)

Chọn:  A.