Phương pháp giải:

- Các mặt bên của hình chóp cùng tạo với đáy 1 số đo góc $\Rightarrow$ Hình chiếu vuông góc của đỉnh S đến mặt đáy là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.

Lời giải chi tiết:

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Do các mặt phẳng $\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right),\left( {SCA} \right)$ cùng tạo với đáy $\left( {ABC} \right)$ một góc ${60^0}$$\Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right).$

Trong $\Delta ABC$ gọi $AE$ là phân giác $\left( {E \in BC} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{{EC}}{{EB}} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AC + AB}} = \dfrac{{EC}}{{BC}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{\rm{3}}a}}{{3a + 4a}} = \dfrac{{EC}}{{5a}} \Rightarrow EC = \dfrac{{15a}}{7}\end{array}$

Xét $\Delta AEC$ có $CI$ là phân giác

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{EC}} = \dfrac{{IA}}{{IE}} \Rightarrow \dfrac{{3a}}{{\dfrac{{15a}}{7}}} = \dfrac{{IA}}{{IE}}\\ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{IE}} = \dfrac{{3a + \dfrac{{15a}}{7}}}{{\dfrac{{15a}}{7}}} = \dfrac{{\dfrac{{{\rm{36}}a}}{7}}}{{\dfrac{{15a}}{7}}} \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{IE}} = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$

$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{12}}{5}d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right)$

Kẻ $IK \bot BC,\,\,\left( {K \in BC} \right),\,\,IH \bot \left( {SBC} \right),\left( {H \in SK} \right) \Rightarrow IH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = IH$

Đồng thời, $IK = r$ : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và $\angle IKS = \left( {\left( {ABC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = {60^0}$

Tam giác ABC có : $S = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.3a.4a = 6{a^2}$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$S = \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right).r$$= \dfrac{1}{2}.\left( {3a + 4a + 5a} \right).r = 6a.r$$\Rightarrow 6ar = 6{a^2} \Rightarrow r = a$ 

Tam giác IHK có : $IH = IK.\sin {60^0} = a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$$\Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{12}}{5}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{\rm{6a}}\sqrt 3 }}{5}$.

Chọn D.