Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm.

- Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B\).

- Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{3x - 3}}{{x + 1}} = x - 1 \Leftrightarrow 3x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(x = 1 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow A\left( {1;0} \right)\).

Với \(x = 2 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow B\left( {2;1} \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}}  = \sqrt 2 \).

Chọn D.