Phương pháp giải:

- Đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\) với \(m\) là tham số.

- Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m\) song song với trục hoành.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(3f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{3}\).

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{3}\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{3}\) có tính chất song song với trục hoành.

Dựa vào BBT ta thấy \( - 1 <  - \dfrac{1}{3} < 3\) nên đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{3}\)cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình \(3f\left( x \right) + 1 = 0\)  có 4 nghiệm phân biệt.

Chọn C.