Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sqrt {{A^2}B}  = \left| A \right|\sqrt B  = \left\{ \begin{array}{l}A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A \ge 0\\ - A\sqrt B \,\,\,khi\,\,\,A < 0\end{array} \right.;\,\,\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \) rồi đặt nhân tử chung của tử số và rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}A = \frac{{4 + \sqrt 8  + \sqrt 2  - \sqrt 3  - \sqrt 6 }}{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }} = \frac{{4 + 2\sqrt 2  + \sqrt 2  - \sqrt 3  - \sqrt {2.3} }}{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{4 + 3\sqrt 2  - \sqrt 3  - \sqrt {2.3} }}{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 } \right) + \left( {2\sqrt 2  + 2 - \sqrt {2.3} } \right)}}{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }}{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 } \right)}}{{2 + \sqrt 2  - \sqrt 3 }} = 1 + \sqrt 2 \end{array}\)

Vậy \(A = 1 + \sqrt 2 \).

Chọn A.