Phương pháp giải:

- Phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\) có 3 nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\)\( \Rightarrow a{x^3} + b{x^2} + cx + d = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\).

- Tính \(f'\left( {{x_1}} \right),\,\,f'\left( {{x_2}} \right);\,\,f'\left( {{x_3}} \right)\).

- Biến đổi bằng cách cộng \(f'\left( {{x_1}} \right),\,f'\left( {{x_2}} \right)\) và nhân \(f'\left( {{x_1}} \right),\,f'\left( {{x_2}} \right)\), sử dụng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) lần lượt là hoành độ của các điểm \(M,\,\,N,\,\,P\) (\({x_1},{x_2},{x_3}\) là nghiệm của PT \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0\))

\( \Rightarrow f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = a\left[ {\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)} \right]\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_1}} \right) = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right) =  - 6\\f'\left( {{x_2}} \right) = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = 2\\f'\left( {{x_3}} \right) = a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right) =  - \dfrac{6}{a}\\\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{2}{a}\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right) + \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) =  - \dfrac{4}{a}\\ - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) =  - \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 - {x_1}{x_3} - {x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + x_2^2 - {x_2}{x_3} - {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} =  - \dfrac{4}{a}\\{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} =  - \dfrac{4}{a}\\{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} =  - \dfrac{4}{a}\\{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - \dfrac{4}{a}\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right) = \dfrac{{12}}{{{a^2}}}\\ \Leftrightarrow a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right) =  - 3\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( {{x_3}} \right) =  - 3\).

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \(P\) là \(k =  - 3\)\( \Rightarrow k \in \left[ { - 5;\, - 2} \right)\).

Chọn: B.