Phương pháp giải:

Sử dụng đồ thị hàm số để biện luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = x - 1 \Rightarrow x = t + 1\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( t \right) = {\left( {t + 1} \right)^3} - 3{\left( {t + 1} \right)^2} + 8\\f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} + 3t + 1 - 3{t^2} - 6t - 3 + 8\\f\left( t \right) = {t^3} - 3t + 6\end{array}\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = 3{t^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t =  - 1\end{array} \right.\).

Từ đó ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) (màu xanh) và \(y = f\left( {\left| t \right|} \right)\) (màu đỏ) như sau:

Yêu cầu bài toán trở thành: Tìm \(m\) để phương trình\(f\left( {\left| t \right|} \right) + m = 2 \Leftrightarrow f\left( {\left| t \right|} \right) = 2 - m\) có đúng ba nghiệm phân biệt

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| t \right|} \right) = 2 - m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| t \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 2 - m\) song song với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Để đường thẳng \(y = 2 - m\) cắt đồ thị hàm số  \(y = f\left( {\left| t \right|} \right)\) (màu đỏ) tại 3 điểm phân biệt thì \(2 - m = 6 \Leftrightarrow m =  - 4\).

Vậy tổng các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là \( - 4\).

Chọn: D.