Câu hỏi
Cho tứ diện \(ABCD\) có các cạnh \(AB,\,\,AC,\,\,AD\) đôi một vuông góc \(AB = 2a,\,\,AC = 5a,\,\,AD = 9a.\)Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm \(BC,\,\,CD,\,\,BD\). tính thể tích \(V\) của \(AMNP\).
- A \(V = \frac{{15}}{2}{a^3}.\)
- B \(V = 15{a^3}.\)
- C \(V = 5{a^3}.\)
- D \(V = \frac{{15}}{4}{a^3}.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tính tỉ lệ thể tích: Cho các điểm \(M \in SA,\;\;N \in SB,\;\;P \in SC\) ta có: \(\frac{{{V_{SMNP}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}}.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC;\,\,\,CD;\,\,DB.\)
\( \Rightarrow {S_{MNP}} = \frac{1}{4}{S_{BCD}} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{ABCD}} = \frac{1}{3}.DA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.9a.\frac{{2a.5a}}{2} = 15{a^3}\\ \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{{15{a^3}}}{4}.\end{array}\)
Chọn D.
Câu hỏi trước
