Phương pháp giải:

- \(z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), suy ra mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\).

- Thay \(z = a + bi\) vào \(\left( {4 - 3i} \right)z\), tìm phần ảo của nó và cho bằng 0, giải phương trình tìm \(\left| b \right|\).

- Thế ngược lại tìm \(\left| a \right|\) và tính \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\).

Ta có \(\left| z \right| = 5 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 25\) (1).

Lại có \(\left( {4 - 3i} \right)z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {a + bi} \right)\)\( = 4a + 3b + \left( {4b - 3a} \right)i\)  là số thực nên \(4b = 3a \Leftrightarrow a = \dfrac{{4b}}{3}\).

Thay vào (1) ta có: \(\dfrac{{16{b^2}}}{9} + {b^2} = 25 \Leftrightarrow {b^2} = 9 \Leftrightarrow \left| b \right| = 3\).

 Với \({b^2} = 9\) ta có \({a^2} = 25 - {b^2} = 16\)\( \Rightarrow \left| a \right| = 4\).

Vậy \(\left| a \right| + \left| b \right| + 3 = 4 + 3 + 3 = 10.\)

Chọn B.