Câu hỏi
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để đường thẳng \(y = mx - m\) cắt đồ thị hàm số \(u = {x^3} - 3{x^2} + 2\) tại ba điểm phân biệt \(A,\,\,B,\,\,C\) sao cho \(AB = BC\).
- A \(m \in \mathbb{R}.\)
- B \(m \in \left( { - 1; + \infty } \right).\)
- C \(m \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
- D \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\)
Phương pháp giải:
- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình đó có nghiệm phân biệt.
- Nhận xét các điểm \(A,\,\,B,\,\,C\) và lấy tọa độ của chúng thích hợp.
- Sử dụng công thức tọa độ trung điểm: Nếu \(M\) là trung điểm của \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_M} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} - 3{x^2} + 2 = mx - m\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - mx + m + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2 - m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = 0\\{x^2} - 2x - 2 - m = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác \(1\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{1^2} - 2 - 2 - m \ne 0\\\Delta ' = 1 + 2 + m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 3\\m > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 3\).
Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - 2 - m\end{array} \right..\)
Do \(A,\,\,B,\,\,C\) thẳng hàng, lại có \(AB = BC\) nên \(B\) là trung điểm của \(AC\), khi đó \(B\left( {1;0} \right)\) (vì \({x_B} = \dfrac{{{x_A} + {x_C}}}{2}\)).
Do đó \(A\left( {{x_1};m{x_1} - m} \right);\,\,C\left( {{x_2};m{x_2} - m} \right)\).
Vì \(B\) là trung điểm của\(AC\) nên: AC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = 1\\\dfrac{{m{x_1} - m + m{x_2} - m}}{2} = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2m = 0 \Leftrightarrow 2m - 2m = 0\) (luôn đúng với mọi \(m\)).
Kết hợp điều kiện ta có \(m \in \left( { - 3; + \infty } \right)\).
Chọn D.