Câu hỏi
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{21}} - 1\)
- A \(n = 8\)
- B \(n = 9\)
- C \(n = 10\)
- D \(n = 11\)
Lời giải chi tiết:
\(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{21}} - 1\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} + 1 = {2^{21}}\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{21}}\)
\( + )\)Xét: \({\left( {x + 1} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0.{x^{2n + 1}}{.1^0} + C_{2n + 1}^1.{x^{2n}}{.1^1} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}.{x^0}{.1^{2n + 1}}\)
\( + )\)Thay \(x = 1\) vào, ta có: \({2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)
\( \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = {2^{21}}\)\( \Leftrightarrow 2n + 1 = 21\)\( \Leftrightarrow 2n = 20\)\( \Leftrightarrow n = 10\)
Chọn C.
Câu hỏi trước
