Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \left| {a{x^3} + b{x^2} + cx + d} \right|\) có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục \(Ox\).

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3x + m\) ta có: \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Với \(x = 1\) thì \(y = m - 2\).

Với \(x =  - 1\) thì \(y = m + 2\).

Do đó hàm số \(y = {x^3} - 3x + m\) có hai điểm cực trị \(A\left( {1;m - 2} \right);\,\,B\left( { - 1;m + 2} \right)\).

Để hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3x + m} \right|\) có 5 điểm cực trị thì \(A,\,\,B\) nằm khác phái đối với trục \(Ox\).

\( \Rightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\).

Kết hợp điều kiện \(m\) nguyên dương suy ra \(m =1\).

Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.