Phương pháp giải:

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\)  Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 8x}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1;\,\,3} \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x - 8} \right)\left( {x + 1} \right) - {x^2} + 8x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2{x^2} - 6x - 8 - {x^2} + 8x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} + 2x - 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\, \in \left[ {1;\,\,3} \right]\\x =  - 4\, \notin \left[ {1;\,\,3} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) =  - \dfrac{7}{2}\\f\left( 2 \right) =  - 4\\f\left( 3 \right) =  - \dfrac{{15}}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {Max}\limits_{\left[ {1;\,\,3} \right]} f\left( x \right) =  - \dfrac{7}{2}.\end{array}\)

Chọn  A.