Lời giải chi tiết:

Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - {x^2} + x + 1\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - x - 1\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = {x^2} - x - 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

BBT:

So sánh \(g\left( { - 1} \right)\) và \(g\left( 2 \right)\).

Ta có \(g\left( { - 1} \right) + g\left( 1 \right) > g\left( 0 \right) + g\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow g\left( { - 1} \right) - g\left( 2 \right) > g\left( 0 \right) - g\left( 1 \right)\).

Dựa vào BBT ta thấy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right)\) nên \(g\left( 0 \right) > g\left( 1 \right) \Rightarrow g\left( 0 \right) - g\left( 1 \right) > 0\).

Suy ra \(g\left( { - 1} \right) - g\left( 2 \right) > 0 \Leftrightarrow g\left( { - 1} \right) > g\left( 2 \right)\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} g\left( x \right) = g\left( 2 \right)\).

Chọn A.