Phương pháp giải:

Đường thẳng \(x = a\) được gọi là TCĐ của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{g\left( x \right)}}{{h\left( x \right)}}\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = \infty .\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \dfrac{{x - 2 + \sqrt {x - 1} }}{{{x^2} - x - 6}}\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 3\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{x - 2 + \sqrt {x - 1} }}{{{x^2} - x - 6}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{x - 2 + \sqrt {x - 1} }}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} =  + \infty \)

\( \Rightarrow x = 3\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Chọn C.