Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{2}\) là số giao điểm của đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}\) và đường thẳng \(y = f\left( x \right).\)

Dựa vào BBT để biện luận số nghiệm giao điểm của hai đồ thị hàm số và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{2}\) là số giao điểm của đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}\) và đường thẳng \(y = f\left( x \right).\)

Dựa vào BBT ta thấy đường thẳng \(y =  - \dfrac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(4\) điểm phân biệt.

Chọn  B.