Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa đường tiệm cận.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} = 1\) nên \(y = 1\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - 1\) nên \(y =  - 1\) là đường TCN của đồ thị hàm số.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  + \infty \) nên \(x = 2\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

          \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }} =  - \infty \) nên \(x =  - 2\) là đường TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận.

Chọn D.