Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\)\(\left( {ad \ne bc} \right)\) có TCĐ \(x =  - \dfrac{d}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{{m^2}x - 4m}}{{2x - {m^2}}}\).

Xét \({m^4} - 8m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\).

Với \(m = 0\) ta có: \(y = 0 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có TCĐ.

Với \(m = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{4x - 8}}{{2x - 4}} = 2\) nên đồ thị hàm số không có TCĐ.

Với \(m \ne 0,\,\,m \ne 2\), đồ thị hàm số có TCĐ \(x = \dfrac{{{m^2}}}{2}\).

Để tiệm cận đứng đi qua điểm \(A\left( {2;1} \right)\) thì \(2 = \dfrac{{{m^2}}}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\m =  - 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \(m =  - 2\).

Chọn D.