Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị.

- Xác định hai điểm cực trị \(A\), \(B\) của đồ thị hàm số.

- \(A\), \(B\)đối xứng nhau qua đường thẳng \(d\) thì \(AB \bot d\) và \(d\) đi qua trung điểm \(I\) của \(AB\).

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array} \right.\).

Để hàm số có cực trị và cực tiểu thì phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt, do đó \(2m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 4{m^3}\).

Với \(x = 2m \Rightarrow y = 0\).

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là \(A\left( {0;4{m^3}} \right),\,\,B\left( {2m;0} \right)\).

Để \(A\) và \(B\) đối xứng nhau qua đường thẳng \(y = x \Leftrightarrow x - y = 0\,\,\left( d \right)\) thì \(AB \bot d\) và \(d\) đi qua trung điểm \(I\left( {m;2{m^3}} \right)\) của \(AB\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {{u_d}} \\I \in d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2m; - 4{m^3}} \right).\left( {1;1} \right) = 0\\m - 2{m^3} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 4{m^3} = 0\\m - 2{m^3} = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m - 2{m^3} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m =  \pm \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn B.