Phương pháp giải:

Điều kiện cần: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = {x_0}\) \( \Leftrightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = 0\).

Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị \(m\) vừa tìm được

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 3{\left( {m - 1} \right)^2}\).

Hàm số đạt cực trị tại điểm \(x = 1\) khi và chỉ khi \(y'\left( 1 \right) = 0\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 - 6\left( {m + 1} \right) + 3{\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 12m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\end{array}\) 

Thử lại:

Với \(m = 0\) ta có \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x\), khi đó \(y' = 3{x^2} - 6x + 3 = 3{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\), do đó hàm số không có cực trị.

 Với \(m = 4\) ta có \(y = {x^3} - 15{x^2} + 27x\), khi đó \(y' = 3{x^2} - 30x + 27 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 9\end{array} \right.\), do đó hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.