Phương pháp giải:

- Khối nón có bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\), chiều cao \(h\) có diện tích toàn phần \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\), thể tích \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\).

- Biểu diễn \(l\), \(h\) theo \(r\) và \(a\).

- Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm \(a,\,\,b\): \(\sqrt {ab}  \le \frac{{a + b}}{2}\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử hình nón có bán kính đáy \(r\) và đường sinh \(l\), khi đó chiều cao của khối nón là \(h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} \).

Khi đó diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2}\).

Theo bài ra ta có: \({S_{tp}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\)\( \Leftrightarrow rl + {r^2} = 2{a^2}\)\( \Leftrightarrow l = \frac{{2{a^2} - {r^2}}}{r}\).

Thể tích khối nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{l^2} - {r^2}} \)\( = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {{{\left( {\frac{{2{a^2} - {r^2}}}{r}} \right)}^2} - {r^2}} \).

\( \Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi {r^2}\sqrt {\frac{{4{a^4} - 4{a^2}{r^2} + {r^4} - {r^4}}}{{{r^2}}}} \) \( = \frac{1}{3}\pi {r^2}\frac{{\sqrt {4{a^4} - 4{a^2}{r^2}} }}{r}\)\( = \frac{1}{3}\pi 2ar\sqrt {{a^2} - {r^2}} \).

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(r\) và \(\sqrt {{a^2} - {r^2}} \) ta có: \(r\sqrt {{a^2} - {r^2}}  \le \frac{{{r^2} + {a^2} - {r^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

\( \Rightarrow V \le \frac{{2\pi }}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Vậy thể tích lớn nhất của khối nón là \(\frac{{\pi {a^3}}}{3}\), đạt được khi \(r = \sqrt {{a^2} - {r^2}} \)\( \Leftrightarrow r = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Chọn B.