Phương pháp giải:

Biên độ dao động tổng hợp: \({A^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi \)

Sử dụng bất đẳng thức Cô – si để tìm cực trị.

Lời giải chi tiết:

Biên độ dao động tổng hợp là:

\(\begin{array}{l}{A^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \Delta \varphi \\ \Rightarrow {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = {A_1}^2 + {A_2}^2 + 2{A_1}{A_2}\cos \dfrac{\pi }{3}\\ \Rightarrow 12 = {A_1}^2 + {A_2}^2 + {A_1}{A_2} = {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} - {A_1}{A_2}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có:

\({A_1} + {A_2} \ge 2\sqrt {{A_1}{A_2}}  \Rightarrow {A_1}{A_2} \le \dfrac{{{{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)}^2}}}{4}\) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {A_1} = {A_2}\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} - {A_1}{A_2} \ge \dfrac{3}{4}{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} \Rightarrow 12 \ge \dfrac{3}{4}{\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2}\\ \Rightarrow {\left( {{A_1} + {A_2}} \right)^2} \le 16 \Rightarrow {A_1} + {A_2} \le 4\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Chọn D.