Phương pháp giải:

+) Xác định tâm và bán kính của đường tròn đã cho

+) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

+) \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 2my + {m^2} - 24 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I\left( {1;m} \right)\\R = 5\end{array} \right.\)

+) \(\Delta  \cap \left( C \right) = \left\{ {A;\,B} \right\}\). Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\).

\(IH = d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {m + 4m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 16} }} = \frac{{\left| {5m} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 16} }}\)

\(AH = \sqrt {I{A^2} - I{H^2}}  = \sqrt {25 - \frac{{{{\left( {5m} \right)}^2}}}{{{m^2} + 16}}}  = \frac{{20}}{{\sqrt {{m^2} + 16} }}\)

Ta có: \({S_{IAB}} = 12 \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot IH \cdot AB = 12\)

\( \Rightarrow IH.\frac{{AB}}{2} = 12 \Leftrightarrow IH.AH = 12\)\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 25\left| m \right| + 48 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  \pm 3\\m =  \pm \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy có \(4\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Chọn  A.