Phương pháp giải:

+) Điểm \(I\) thuộc \(d:\,\,\,ax + by + c = 0\) suy ra \(I\left( {{x_I};\frac{{ - a{x_I} - c}}{b}} \right)\)

+) \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \(\Delta \) nên \(d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = R\)\( \Rightarrow {x_I} \Rightarrow \) Tọa độ của điểm \(I\).

+) Thay và xác định phương trình đường tròn cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Tâm \(I\) của đường tròn \(\left( C \right)\) thuộc đường thẳng \(d:\,\,x + 2y - 3 = 0\) nên \(I\left( { - 2a + 3;\,a} \right)\).

Mà \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \(\Delta \) nên \(d\left( {I,\,\,\Delta } \right) = R\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2a + 3 + 3a - 5} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {a - 2} \right|}}{{\sqrt {10} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow 5\left| {a - 2} \right| = 20\\ \Leftrightarrow \left| {a - 2} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 4\\a - 2 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 6\\a =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

+) \(a = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;6} \right)\).

+) \(a =  - 2 \Rightarrow I\left( {7; - 2} \right)\)

Vậy các phương trình đường tròn cần tìm là \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}\)  hoặc \(\left( C \right):\,\,\,{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}\).

Chọn  C.