Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right):f\left( {x;\,y} \right) = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):g\left( {x;\,y} \right) = 0\) là: \(af\left( {x;\,y} \right) + bg\left( {x;\,y} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) qua giao điểm của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) có dạng:

\(a\left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4} \right) + b\left( {{x^2} + {y^2} - 1} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\,\,\left( {a + b \ne 0} \right)\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\) nên ta có:

\(a\left( {{1^2} + {2^2} - 2.1 + 4.2 - 4} \right) + b\left( {{1^2} + {2^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7a + 4b = 0\)

Chọn \(a = 1 \Rightarrow b =  - \frac{7}{4}\)\( \Rightarrow \left( C \right):\,\,\,1.\left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4} \right) - \frac{7}{4}\left( {{x^2} + {y^2} - 1} \right) = 0\)

\(\, \Leftrightarrow  - \frac{3}{4}{x^2} - \frac{3}{4}{y^2} - 2x + 4y - \frac{9}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{8}{3}x - \frac{{16}}{3}y + 3 = 0\)

Suy ra, \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - \frac{4}{3};\frac{8}{3}} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2} - 3}  = \frac{{\sqrt {53} }}{3}\)

\( \Rightarrow m + n =  - \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{4}{3}\)

Chọn  B.