Phương pháp giải:

Xác định số điểm cố định của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\)

+) Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) là một điểm cố định mà đường tròn \(\left( C \right)\) luôn đi qua.

+) Thay \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) vào \(x_I^2 + y_I^2 - 2a{x_I} - 2b{y_I} + c = 0\).

Bằng phương pháp: đồng nhất thức để để tìm \({x_I}\) và \({y_I}\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) là điểm cố định mà \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2mx - 4\left( {m + 1} \right)y - 1 = 0\) luôn đi qua với mọi \(m\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x_I^2 + y_I^2 - 2m{x_I} - 4\left( {m + 1} \right){y_I} - 1 = 0\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow x_I^2 + y_I^2 - 2m{x_I} - 4m{y_I} - 4{y_I} - 1 = 0\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left( { - 2{x_I} - 4{y_I}} \right)m + \left( {x_I^2 + y_I^2 - 4{y_I} - 1} \right) = 0\,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{x_I} - 4{y_I} = 0\\x_I^2 + y_I^2 - 4{y_I} - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} =  - 2{y_I}\\\left( { - 2{y_I}} \right){}^2 + y_{_I}^2 - 4{y_I} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} =  - 2{y_I}\\5y_I^2 - 4{y_I} - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} =  - 2{y_I}\\\left[ \begin{array}{l}{y_I} = 1\\{y_I} =  - \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x_I} =  - 2\\{y_I} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{2}{5}\\{y_I} =  - \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có hai điểm cố định mà đường tròn \(\left( {{C_m}} \right)\) luôn đi qua khi \(m\) thay đổi.

Chọn  A.