Phương pháp giải:

- Xác định tâm và bán kính của đường tròn cho trước.

- Áp dụng vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và \(d\left( {I;\Delta } \right) = R\) để tìm ra các yếu tố chưa biết của tiếp tuyến.

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3; - 1} \right){;^{}}R = \sqrt 5 \).

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng \(d:2x + y + 7 = 0\), nên gọi phương trình tiếp tuyến là:

\(\Delta :2x + y + c = {0^{}}\left( {c \ne 7} \right)\)

Ta lại có:

\(d\left( {I,\Delta } \right) = R \Rightarrow \frac{{\left| {2.3 + \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + 1} }} = \sqrt 5 \)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 + c} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \sqrt 5  \Leftrightarrow \left| {5 + c} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 + c = 5\\5 + c =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\c =  - 10\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(2x + y = 0\) hoặc \(2x + y - 10 = 0\).

Chọn  B.