Phương pháp giải:

Để biện luận số giao điểm của đường thẳng \(\Delta :Ax + By + C = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\), ta có thể thực hiện được theo các cách:

Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(d\) với bán kính \(R\).

-          Xác định tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( C \right)\).

-          Tính khoảng cách từ \(I\) đến \(\Delta \).

+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) < R\)  thì \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.

+) Nếu  \(d\left( {I,\Delta } \right) = R\) thì \(d\) tiếp xúc với \(\left( C \right)\) .

+) Nếu \(d\left( {I,\Delta } \right) > R\) thì \(d\) và \(\left( C \right)\) không có điểm chung.

Cách 2: Tọa độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}Ax + By + C = 0\\{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\end{array} \right.\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{}\end{array}(*)\)

+) Hệ \((*)\) có \(2\) nghiệm \( \Leftrightarrow d\)cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt.

+) Hệ \((*)\) có \(1\) nghiệm \( \Leftrightarrow d\)tiếp xúc với \(\left( C \right)\).

+) Hệ \((*)\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow d\)và\(\left( C \right)\) không có điểm chung.

Lời giải chi tiết:

+) Xét đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x - 2y = 0\)\( \Rightarrow I\left( {2;1} \right){;^{}}R = \sqrt {{2^2} + {1^2} - 0}  = \sqrt 5 \)

+) \(d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {m.2 - 1 - 3m - 2} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\left| { - m - 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \frac{{\left| {m + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}\)

Để \(\Delta \) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì:

\(d\left( {I;\Delta } \right) < R\)\( \Rightarrow \frac{{\left| {m + 3} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} < \sqrt 5 \)\( \Rightarrow \left| {m + 3} \right| < \sqrt {5\left( {{m^2} + 1} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {\left| {m + 3} \right|} \right)^2} < 5\left( {{m^2} + 1} \right)\)\( \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 9 < 5{m^2} + 5\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 3m - 2 > 0\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \frac{1}{2}\end{array} \right..\)

Chọn  B.