Phương pháp giải:

Dạng bài: Tìm tập hợp (quỹ tích) tâm đường tròn

+) Xác định tọa độ tâm \(I\). Giả sử: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = f\left( m \right)\\{y_I} = g\left( m \right)\end{array} \right.\)

+) Khử \(m\) giữa \(x\) và \(y\) ta được phương trình: \(F\left( {x;y} \right) = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Xét đường tròn \(\left( C \right){:^{}}{x^2} + {y^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4my + 3m + 11 = 0\) có tọa độ tâm \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{ - 2\left( {m - 1} \right)}}{{ - 2}}\\{y_I} = \frac{{ - 4m}}{{ - 2}}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = m - 1\\{y_I} = 2m\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_I} = 2m - 2\\{y_I} = 2m\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 2{x_I} - {y_I} =  - 2 \Leftrightarrow 2{x_I} - {y_I} + 2 = 0\)

Vậy tập hợp tâm \(I\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là đường thẳng \(d:2x - y + 2 = 0\).

Chọn  C.