Phương pháp giải:

+) Tâm của đường tròn đường kính \(AB\) là trung điểm của đoạn \(AB\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.\)

+) Xác định bán kính: \(IA = IB = \frac{{AB}}{2}.\)

Lời giải chi tiết:

+) Gọi \(I\left( {{x_I};{y_I}} \right)\) là trung điểm của\(AB\)ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{5 + \left( { - 3} \right)}}{2} = 1\\{y_I} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;\,\,3} \right)\)

+) \(\left. \begin{array}{l}A\left( {5; - 1} \right)\\B\left( { - 3;7} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 + 1} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {64 + 64}  = \sqrt {128}  = 8\sqrt 2 \)\( \Rightarrow IA = 4\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn đường kính\(AB\) là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {\left( {4\sqrt 2 } \right)^2} = 32\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 6y + 9 = 32\)\( \Leftrightarrow {x^2} + y{}^2 - 2x - 6y - 22 = 0\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({x^2} + y{}^2 - 2x - 6y - 22 = 0\).

Chọn  C.