Phương pháp giải:

Dạng bài: Viết phương trình đường tròn khi biết tâm \(I\left( {a;b} \right)\) và đi qua \(A\left( {x;y} \right)\) điểm cho trước.

Bán kính của đường tròn: \(IA = \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(R = IA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt {{3^2} + 1}  = \sqrt {10} \)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2;\,\,4} \right)\) và đi qua \(A\left( { - 1;\,\,3} \right)\) là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {\sqrt {10} } \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\)

Phương trình đường tròn cần tìm là: \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 10\)

Chọn  C.