Phương pháp giải:

Dạng bài: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\), bán kính \({R_1}\); \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\) và bán kính \({R_2}\).

So sánh độ dài đoạn nối tâm \({I_1}{I_2}\) với các bán kính \({R_1},{R_2}\).

+) \({R_1} - {R_2} < {I_1}{I_2} < {R_1} + {R_2}\) \( \Leftrightarrow \)\(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau tại hai điểm.

+) \({I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc ngoài với \(\left( {{C_2}} \right)\).

+) \({I_1}{I_2} = \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\)\( \Leftrightarrow \)\(\left( {{C_1}} \right)\) tiếp xúc trong với \(\left( {{C_2}} \right)\).

+) \({I_1}{I_2} > {R_1} + {R_2}\)\( \Leftrightarrow \)\(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) ở ngoài nhau.

+) \({I_1}{I_2} < \left| {{R_1} - {R_2}} \right|\)\( \Leftrightarrow \)\(\left( {{C_1}} \right)\)và \(\left( {{C_2}} \right)\) ở trong nhau.

Lời giải chi tiết:

\(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {4;1} \right)\) và bán kính \({R_1} = \sqrt {{4^2} + {1^2} - 7}  = \sqrt {10} \)

\(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {\frac{3}{2};\frac{7}{2}} \right)\) và bán kính \({R_2} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{I_I}{I_2}}  = \left( { - \frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right) \Rightarrow {I_1}{I_2} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\\{R_1} - {R_2} = \frac{{\sqrt {10} }}{2}\\{R_1} + {R_2} = \frac{{3\sqrt {10} }}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow {R_1} - {R_2} < {I_1}{I_2} < {R_1} + {R_2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau.

Chọn  B.