Phương pháp giải:

Phương trình \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \({x^2} + {y^2} + 4mx - 2my + 2m + 3 = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2m\\b = m\\c = 2m + 3\end{array} \right.\)

Xét  \({a^2} + {b^2} - c = {m^2} + {\left( { - 2m} \right)^2} - \left( {2m + 3} \right)\)\( = {m^2} + 4{m^2} - 2m - 3\)\( = 5{m^2} - 2m - 3\)

Phương trình đã cho là phương trình đường tròn \( \Leftrightarrow 5{m^2} - 2m - 3 > 0\)\( \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\left( {5m + 3} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - \frac{3}{5}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\)

Chọn  C.