Câu hỏi
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Gọi \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\) lần lượt là tâm các hình vuông \(ABB'A',\,\,A'B'C'D'\), \(ADD'A'\) và \(CDD'C'\). Tính thể tích tứ diện \(MNPR\) với \(R\) là trung điểm \(BQ\).
- A \(\frac{1}{{12}}\)
- B \(\frac{{\sqrt 3 }}{{12}}\)
- C \(\frac{{\sqrt 2 }}{{24}}\)
- D \(\frac{1}{{24}}\)
Phương pháp giải:
- Gắn hệ trục tọa độ, tìm tọa độ các điểm \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,R\).
- Sử dụng công thức tính thể tích khối tứ diện \({V_{MNPR}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} } \right|\).
Lời giải chi tiết:
Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta có:
\(A'\left( {1;0;0} \right);\,\,B\left( {0;0;1} \right) \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};0;\frac{1}{2}} \right)\)
\(C'\left( {0;1;0} \right) \Rightarrow N\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\).
\(D\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow P\left( {1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).
\(C'\left( {0;1;0} \right);\,\,D\left( {1;1;1} \right) \Rightarrow Q\left( {\frac{1}{2};1;\frac{1}{2}} \right)\)
\( \Rightarrow R\left( {\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {0;\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\); \(\overrightarrow {MP} = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};0} \right)\); \(\overrightarrow {MR} = \left( { - \frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)\) .
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\frac{1}{4}; - \frac{1}{4}; - \frac{1}{4}} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} = \frac{1}{4}.\left( { - \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{4}.\frac{1}{2} - \frac{1}{4}.\frac{1}{4} = - \frac{1}{4}\end{array}\)
Vậy \({V_{MNPR}} = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MR} } \right| = \frac{1}{{24}}\).
Chọn D.
Câu hỏi trước
