Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 5\end{array} \right..\) 

\(\begin{array}{l} \Rightarrow J = \int\limits_0^2 {x\left[ {f\left( {{x^2} + 1} \right) + 1} \right]} dx = \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {\left[ {f\left( t \right) + 1} \right]dt} \\ = \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt}  + \frac{1}{2}\int\limits_1^5 {dt}  = \frac{1}{2}.26 + \left. {\frac{1}{2}t} \right|_1^5\\ = 13 + \frac{1}{2}\left( {5 - 1} \right) = 15.\end{array}\)

Chọn  B.