Phương pháp giải:

Áp dụng công thức: \(\overrightarrow a  = \left( {m;\,\,n} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {km;\,\,kn} \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow c  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 = m.2 + n.1\\2 = m.\left( { - 2} \right) + n.4\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{9}{5}\\n = \frac{7}{5}\end{array} \right. \Rightarrow {m^2} + n = \frac{{116}}{{25}}.\)         

Chọn B.