Phương pháp giải:

Lập hệ phương trình tìm đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {m;0} \right),B\left( {0;n} \right)\), vì \(\Delta AOB\) cân nên \(OA = OB\)\( \Rightarrow \left| m \right| = \left| n \right|\,\,\,\,\left( {m,n \ne 0} \right).\)

Đồ thị hàm số đi qua \(M\left( {2;1} \right) \Rightarrow 1 = 2a + b.\)

Đồ thị hàm số đi qua \(A\left( {m;0} \right) \Rightarrow 0 = am + b.\)

Đồ thị hàm số đi qua \(B\left( {0;n} \right) \Rightarrow n = a.0 + b = b.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 2a + n\\0 = am + n\end{array} \right..\)

Với \(m = n \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 2a + n\\0 = an + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\n\left( {a + 1} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\\left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\n = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = n = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow y =  - x + 3.\)

Với \(m =  - n \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 2a + n\\0 =  - an + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\n\left( {1 - a} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + n = 1\\\left[ \begin{array}{l}n = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\n =  - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\n = b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow y = x - 1.\)

Chọn B.