Phương pháp giải:

Thể tích của hình trụ có bán kính bằng \(r,\) chiều cao bằng \(h\) là:    \(V = \pi {r^2}h\)

Diện tích toàn phần của hình trụ trên là \(\)\({S_{tp}} = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)

Áp dụng BĐT \(AM - GM\) để giải bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(r\) là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của thùng sơn đã cho.

Theo giả thiết, thùng sơn có dung tích bằng \(1000c{m^3}\) nên ta có:

                         \(V = 1000 \Leftrightarrow \pi {r^2}h = 1000\)

Diện tích toàn phần của thùng sơn có nắp đạy là 

                        \({S_{tp}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh\)

Áp dụng BĐT AM – GM ta có:

             \({S_{tp}} = \pi .\left( {2{r^2} + rh + rh} \right) \ge \pi .3\sqrt[3]{{2{r^2}.rh.rh}} = 3\pi .\sqrt[3]{{2{r^4}.{h^2}}} = 3\pi .\sqrt[3]{{2.{{\left( {\dfrac{{1000}}{\pi }} \right)}^2}}}\)

Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(2{r^2} = rh \Leftrightarrow h = 2r\)

Mà \({r^2}h = \dfrac{{1000}}{\pi } \Rightarrow 2{r^3} = \dfrac{{1000}}{\pi } \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\dfrac{{500}}{\pi }}}\)

Vậy để diện tích toàn phần của thùng sơn nhỏ nhất thì \(r = \sqrt[3]{{\dfrac{{500}}{\pi }}}\)

Chọn A.